( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + "z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! "p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + "z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! "p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2"

Ίακχος Πολίτης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΦΥΣ Διαλ.04 1 Παραδείγματα Κίνηση ενός και μόνο σωματιδίου, χρησιμοποιώντας Καρτεσιανές συντεταγμένες και συντηρητικές δυνάμεις. Οι εξισώσεις Lagrange θα πρέπει να επιστρέφουν τα ίδια αποτελέσματα με αυτά που δίνει ο 2 ος νόμος του Newton: Ø σε καρτεσιανές συντεταγμένες Έχουμε: r = xî + yĵ + z ˆk r = "xî + x î F = "p ĵ + "yĵ + y + "z ˆk + z ˆk Και επομένως: v = "xî + "yĵ + "z ˆk v 2 = ( "xî + "yĵ + "z ˆk ) ( "xî + "yĵ + "z ˆk ) Άρα έχουμε: T = 1 2 m ( x2 + y 2 + z 2 ) v 2 = x 2 + y 2 + z 2 Η δυναμική ενέργεια θα είναι: V = V(x, y, z) Η Lagrangian θα έχει τη μορφή: L = T V = 1 2 m ( x2 + y 2 + z 2 ) V(x, y, z)

2 ΦΥΣ Διαλ.04 2 Κίνηση σωματιδίου καρτεσιανές συντεταγμένες Έχουμε: x = mx ; x = mx x = (T V ) x = T x V x = V x = F x Επομένως η εξίσωση Lagrange για q = x x x = 0 mx F = 0 mx = F x x 0 γίνεται: Κατά τον ίδιο τρόπο έχουμε για τις διευθύνσεις y και z: y y = 0 my F y = 0 my = F y z z = 0 mz F z = 0 mz = F z

3 ΦΥΣ Διαλ.04 3 Κίνηση σωματιδίου πολικές συντεταγμένες Ξεκινώντας από Καρτεσιανές συντεταγμένες: y r θ x x = r cosθ ; y = r sinθ x = r cosθ r θ sinθ y = r sinθ + r θ cosθ Προσέξτε ότι: x r = cosθ = x r εκφράζουν τη γενική σχέση v i "q j x x = r sinθ = θ θ = r i q j και Μπορούμε επομένως να γράψουμε τη κινητική ενέργεια: για τη συγκεκριμένη περίπτωση T = m ( 2 x2 + y 2 ) = m ( 2 r 2 cos 2 θ + r 2 θ 2 sin 2 θ 2 rr θ sinθ cosθ ) + + m ( 2 r 2 sin 2 θ + r 2 θ 2 cos 2 θ + 2 rr θ sinθ cosθ) T = m 2 r 2 + (r θ) 2

4 ΦΥΣ Διαλ.04 4 Κίνηση σωματιδίου πολικές συντεταγμένες Η δυναμική ενέργεια είναι: V(x, y) = V(r,θ) Επομένως η Lagrangian θα είναι: L = m 2 r 2 + r 2 θ 2 r = mr ; V r = V x x r + V y r = m r ; r = mr θ 2 V r Επομένως η 1 η εξίσωση κίνησης είναι: θ = mr 2 θ ; θ = V θ = V x r V(r,θ) y r V r = F x cosθ F y sinθ V r = F cosθ + F sinθ = x y F ê r = F r θ = mr 2 θ + 2mrr θ x θ V y y θ = F x Η 2 η εξίσωση κίνησης είναι: ( rsinθ ) + F y r cosθ = F rê θ = rf θ r = 0 m r mr θ 2 y r θ x (cosθ,sinθ) = F r ê θ = ( sinθ,cosθ) rê r θ θ θ = 0 mr 2 θ + 2mrr θ = rf θ

5 ΦΥΣ Διαλ.04 5 Κίνηση σωματιδίου πολικές συντεταγμένες Καταλήξαμε στις δύο εξισώσεις κίνησης από τις εξισώσεις Lagrange r r = 0 m r mr θ 2 = F r (1) θ θ = 0 mr 2 θ + 2mrr θ = rf θ ΦΥΣΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ? (2) Ø Ο 2 ος όρος της εξίσωσης (1) είναι η κεντρομόλος δύναμη Ø Το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (2) είναι η παράγωγος της στροφορμής, l = mrv = mr( r θ ) = mr 2 θ l = mr 2 θ = mr 2 θ + 2mrr θ Ø Το δεξί μέλος της εξίσωσης (2) είναι απλά η ροπή της δύναμης F θ r Δηλαδή η δεύτερη εξίσωση μας έδωσε και πάλι την εξίσωση της ροπής

6 ΦΥΣ Διαλ.04 6 Κίνηση σωματιδίου πολικές συντεταγμένες Θεωρούμε την κίνηση του σωματιδίου αλλά τώρα στο επίπεδο. Εποµένως υπάρχει ένας δεσμός, και χρησιμοποιούμε πολικές συντεταγμένες Αντίθετα με τις καρτεσιανές συντεταγμένες που τα μοναδιαία διανύσματα δεν παρουσιάζουν χρονική εξάρτηση, τα μοναδιαία διανύσματα σε άλλες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες παρ όλο που είναι ορθογώνια μεταξύ τους, παρουσιάζουν χρονική εξάρτηση μια και η διεύθυνσή τους μπορεί να αλλάζει με το χρόνο. Ένα σημείο P το οποίο κινείται στην καμπύλη s(t) στο χρονικό διάστημα κινείται από το P 1 στο P 2 Τα μοναδιαία διανύσματα ê r και ê θ τα οποία είναι κάθετα μεταξύ τους, μετακινούνται από ê 1 2 r σε ê r ê 1 2 θ σε ê θ Επομένως η μεταβολή θα είναι: ê r = ê r 1 ê r 2 Αλλά ê r ê r και επομένως ê r // ê θ για χρονικές μεταβολές και στην ίδια διεύθυνση

7 ΦΥΣ Διαλ.04 7 Κίνηση σωματιδίου πολικές συντεταγμένες Επομένως μπορούμε να γράψουμε: ê r = θê θ Με το ίδιο σκεπτικό βλέπουμε ότι ê θ = ê 1 2 θ ê θ Θεωρώντας το διάνυσμα θέσης σε πολικές συντεταγμένες, γράφουμε: r = rê r v = r = r êr + r ê r Το διάνυσμα ê θ ê θ Παραγωγίζοντας ως προς t παίρνουμε: ê r = θ êθ = θê θ και αλλά αντίθετης φοράς με το Άρα θα έχουμε: ê θ = θê r ê θ = θ êr = θê r v = "rê r + r " θê θ και επομένως ê θ / / ê r ê r ακτινική συνιστώσα γωνιακή συνιστώσα Επομένως v 2 = ( rê r + r θê θ ) ( rê r + r θê ) θ v 2 = r 2 + r 2 θ 2

8 ΦΥΣ Διαλ.04 8 Κίνηση σωματιδίου πολικές συντεταγμένες Σε πολικές συντεταγμένες επομένως v 2 = r 2 + r 2 θ 2 Η κινητική ενέργεια του σωματιδίου θα είναι T = 1 2 mv2 = 1 2 m ( r 2 + r 2 θ 2 ) Ø Τ είναι συνάρτηση γενικευμένων ταχυτήτων αλλά και συντεταγμένων κάτι που δεν συμβαίνει ποτέ σε καρτεσιανές συντεταγμένες όπου έχουμε πάντοτε τετράγωνα ταχυτήτων και όχι εξάρτηση από τις συντεταγμένες Η δυναμική ενέργεια θα είναι: T r = mr ; T r = m r ; Η γενικευμένη δύναμη δίνεται από: T θ = mr 2 θ ; V = V ( r,θ) T r = mr θ 2 T θ = m 2rr θ + r 2 ; Η γενικευμένη δύναμη δίνεται από: Q r = F r r = F rê r r T θ θ = 0 Q θ = F r θ = F rê r θ = F ê r = F r = F rê θ = rf θ

9 ΦΥΣ Διαλ.04 9 Κίνηση σωματιδίου πολικές συντεταγμένες Καταλήξαμε στις δύο εξισώσεις κίνησης από τις εξισώσεις Lagrange T r T r = Q r m r mr θ 2 = F r (1) T θ T θ = Q θ mr 2 θ + 2mrr θ = rf θ (2)

10 Κίνηση σώματος σε κωνική επιφάνεια z = ρ cot a ΦΥΣ Διαλ Σώμα μάζας m περιορίζεται στο να κινείται στο εσωτερικό μιας λείας κωνικής επιφάνειας γωνίας α. Το σώμα δέχεται την επίδραση της βαρύτητας. (α) Ποιές γενικευμένες συντεταγμένες μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και (β) ποιοί οι δεσμοί που τυχόν υπάρχουν. (γ) Ποιες οι εξισώσεις κίνησης Lagrange. φ ρ Για το πρόβλημα αυτό θα χρησιμοποιήσουμε κυλινδρικές συντεταγμένες (ρ,φ,z). Έστω ότι άξονας του κώνου συμπίπτει με τον z-άξονα, και ότι η κορυφή του κώνου βρίσκεται στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων. Δεσμός: Το σώμα περιορισμένο στην επιφάνεια κώνου Η εξίσωση δεσμού: Επομένως έχουμε 2 ανεξάρτητες γενικευμένες συντεταγμένες (ρ,φ) r = ρ ˆρ + zẑ Το διάνυσμα θέσης σε κυλινδρικές συντεταγμένες: v = r = "ρ ˆρ + ρ ˆρ + "zẑ Επομένως: v 2 = ρ 2 + ρ 2 ϕ 2 + z 2 v 2 = ρ 2 + ρ 2 ϕ 2 + ρ 2 cot 2 a v = " r = "ρ ˆρ + ρ "ϕ ˆϕ + "zẑ σε κυλινδρικές συντεταγμένες v 2 = ρ 2 (1+ cot 2 a) + ρ 2 ϕ 2 v 2 = ρ 2 csc 2 a + ρ 2 ϕ 2 Η δυναμική ενέργεια θεωρώντας V=0 για z=0 είναι: V = mgz V = mgρ cot a

11 Κίνηση σώματος σε κωνική επιφάνεια ΦΥΣ Διαλ Επομένως η Lagrangian του σώματος θα είναι: mgρ cot a L = T V = 1 2 m ρ 2 csc 2 a + ρ 2 ϕ 2 Ø Η Lagrangian δεν εξαρτάται από την συντεταγμένη φ και επομένως ϕ = 0 οπότε ϕ ϕ = 0 Αλλά: mρ 2 ϕ = σταϑ. mρ 2 ϕ = l = σταϑ. ϕ = 0 ϕ = σταϑ. mρ 2 ϕ = σταϑ. Ø Διατήρηση στροφορμής ως προς τον άξονα συμμετρίας του συστήματος (1) Η Lagrangian εξίσωση κίνησης ως προς τη συντεταγμένη ρ είναι: ρ = m ρ csc 2 a ρ = m ρ csc 2 a και ρ = mρ ϕ 2 mgcot a ρ ρ = 0 m ρ csc 2 a mρ ϕ 2 + mgcot a = 0 ρ csc 2 a ρ ϕ 2 + gcot a = 0 (2) Προσέξτε ότι από την (1) έχουμε: ρ ϕ 2 = l 2 οπότε η (2) δίνει: m 2 ρ 3 ρ csc 2 a l 2 m 2 ρ 3 = gcot a

12 ΦΥΣ Διαλ Μηχανή Atwoo H μηχανή Atwoo είναι παράδειγμα ενός συστήματος με ολόνομο, σκληρόνομο δεσμό (η τροχαλία θεωρείται λεία και αμελητέας μάζας) x x = x Μ 1 T T T T Μ 2 l-x ; y = (l x) = x Υπάρχει μόνο μια ανεξάρτητη συντεταγμένη, x. Η θέση της μάζας Μ 2 προσδιορίζεται από το δεσμό ότι το μήκος του σχοινιού είναι σταθερό, l. H κινητική ενέργεια είναι: T = 1 ( 2 M + M 1 2 ) x 2 ενώ η δυναμική ενέργεια: V(x) = M 1 gx M 2 g(l x) Επομένως η Lagrangian του συστήματος είναι: x 2 g M 2 M 1 L = 1 2 M 1 + M 2 x M 2 l x = ( M 1 + M 2 ) x ; x = ( M 1 + M 2 )x ; x = g ( M 2 M 1 ) Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του Lagrange παίρνουμε: x x = 0 ( M + M 1 2 )x g M 2 M 1 = 0 x = g ( M M 2 1) M 1 + M 2

13 ΦΥΣ Διαλ Μηχανή Atwoo q Είναι χαρακτηριστικό ότι δεν υπάρχει δύναμη δεσμού Ø Στην περίπτωση αυτού του προβλήματος, η δύναμη του δεσμού είναι η τάση, Τ, του σχοινιού και δεν εμφανίζεται πουθενά στην Lagrangian Ø Για τον ίδιο λόγο και η δύναμη του δεσμού δεν μπορεί να βρεθεί από το φορμαλισμό της Lagrangian Ø Η τάση βρίσκεται από την εξίσωση: T M 1 g = M 1 x Η λύση του προβλήματος με απλή Newtonian μηχανική, ζητά τις εξισώσεις του Newton για κάθε μάζα: αφαίρεση T M 1 g = M 1 x T M 2 g = M 2 x M g M 1 ( g 2 ) = M 1 x M 2 x ( M 2 M 1 )g = ( M 1 + M 2 )x x = g M 2 M 1 M 1 + M 2

14 ΦΥΣ Διαλ Σφαιρικές συντεταγμένες i k φ θ j r e φ e r e θ Σε σφαιρικές συντεταγμένες θα έχουμε: H διεύθυνση του ê r r = rê r προσδιορίζεται από τις φ και θ Εισάγουμε 2 ακόμα μοναδιαία διανύσματα ê θ Η ταχύτητα θα είναι: v= r = "rê r + r ê r Αλλά ê r = î (ê r î ) + ĵ(ê r ĵ) + ˆk(ê r ˆk) Όμως (ê r î ) = cosa ενώ θέλουμε το εσωτερικό γινόμενο συναρτήσει των θ και φ Διαδοχικές προβολές του e r επίπεδο x-y και κατόπιν στον x-άξονα δίνει: και ê ϕ (ê r î ) = sinθ cosϕ και ανάλογα (ê r (ê ĵ) = sinθ sinϕ r ˆk) = cosθ Οι σχέσεις για τα ê θ και ê ϕ βρίσκονται με τον ίδιο τρόπο οπότε έχουμε: ê r = î sinθ cosϕ + ĵ sinθ sinϕ + ˆk cosθ ê θ = î cosθ cosϕ + ĵ cosθ sinϕ ˆk sinθ ê ϕ = î sinϕ + ĵ cosϕ Άρα ê r ê r = î ( θ cosθ cosϕ ϕ sinθ sinϕ) + ĵ( θ cosθ sinϕ + ϕ sinθ cosϕ) ˆk θ sinθ = ê ϕ ϕ sinθ + ê θ θ v = ê r "r + ê ϕ r "ϕ sinθ + ê θ r " θ

Σχετικά έγγραφα

) A a r a. Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης. T = 1 2 m (!r 2 + r 2!θ 2. A a r a + C. = Ar a 1 dr V = F = V r V = Fdr

) A a r a. Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης. T = 1 2 m (!r 2 + r 2!θ 2. A a r a + C. = Ar a 1 dr V = F = V r V = Fdr Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης ΦΥΣ 211 - Διαλ.05 1 Έστω ένα σωματίδιο κινείται κάτω από την επίδραση μιας δύναμης F = Ar α 1 που έχει διεύθυνση προς την αρχή των αξόνων. Τα Α και α είναι σταθερές.